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Desigualdades Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos valores no son iguales. En otras palabras, una desigualdad nos dice que hay una diferencia entre dos cantidades. Tipos de desigualdades: Desigualdad estricta: Esta es la forma más común de desigualdad. Se indica con el símbolo ≠. Por ejemplo, 5 ≠ 3 significa que 5 no es igual a 3. Desigualdad no estricta: Este tipo de desigualdad indica que dos valores pueden ser iguales o diferentes. Se indica con los símbolos ≤ o ≥. Por ejemplo, 2 ≤ 5 significa que 2 es menor o igual que 5, y 5 ≥ 2 significa que 5 es mayor o igual que 2. Ejemplos de desigualdades: 7 > 4 (7 es mayor que 4) 3 < 6 (3 es menor que 6) 5 ≠ 5 (5 no es igual a 5) 10 ≤ 10 (10 es menor o igual que 10) 12 ≥ 8 (12 es mayor o igual que 8) Las desigualdades se utilizan en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, incluyendo: Álgebra: Para resolver ecuaciones y desigualdades. Geometría: Para comparar longitudes, áreas y volúmenes. Física: Para de

Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos que comparten una o más características en común. Los objetos que forman parte de un conjunto se llaman elementos. Tipos de conjuntos: Conjunto finito : Un conjunto con un número finito de elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números pares del 1 al 10. Conjunto infinito : Un conjunto con un número infinito de elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales. Conjunto de números reales entre 1 y 2. Conjunto vacío : Un conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por {}. Conjunto unitario : Un conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos de conjuntos: Conjunto de los colores primarios: {rojo, amarillo, azul} Conjunto de los planetas del sistema solar: {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno} Conjunto de los números pares: {2, 4, 6, 8, 10, ...} Conjunto de los números impares: {1, 3, 5, 7, 9, ...} Los conjuntos se pueden representar de diferentes maneras: Por extensión : Listando t

  Interés compuesto. Una de las principales aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas es en el tema de inversiones o préstamos a interés compuesto. Las inversiones a interés compuesto implica que cuando se invierte un capital C, después de un período este gana una cierta cantidad de intereses I, los cuales son reinvertidos para que en el siguiente período los intereses se calculen sobre un monto M que es igual al capital del período anterior más los intereses de dicho período (M = C + I). Después de varios períodos el monto acumulado de esa inversión se puede calcular con: M = C(1 + (i/p)) np Donde: M es el monto o valor futuro. C es el capital o valor presente. i es la tasa de interés nominal anual. n es el número de años. p es la frecuencia (número de veces) de conversión de los intereses en un año. En el caso de los prestamos a interés compuesto cada pago se hace sobre saldos insolutos, es decir, los intereses solo se calcularán sobre la deuda vigente y no la deuda

Funciones exponenciales y logarítmicas. Función exponencial. En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma f(x) = b x , donde: b es una constante positiva distinta de 1, llamada base de la función exponencial . x es la variable independiente. En otras palabras, la función exponencial toma un número real x como entrada y eleva la base b ese exponente. Ejemplos: f(x) = 2 x es una función exponencial con base 2. f(x) = e x es una función exponencial con base e (la constante matemática aproximadamente igual a 2.71828). Está función se le conoce como función exponencial natural . f(x) = 10 x es una función exponencial con base 10. Propiedades: Las funciones exponenciales tienen varias propiedades importantes: Crecimiento : Las funciones exponenciales crecen a un ritmo cada vez mayor a medida que aumenta el valor de x. Continuidad : Las funciones exponenciales son continuas en todo el dominio real. Derivada : La derivada de la función exponencial f(x)

 Función potencia. Este tipo de funciones es de la forma: f(x) = ax n en donde a y n son constantes distintas de cero, se denomina función potencia . Si n = 2, entonces tendremos funciones cuadráticas . La gráfica de y = ax 2 es una parábola con vértice en el origen, que se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. Si n = 1/2. La función f(x) = ax 1/2 es media parábola que abre hacia la derecha. Si a > 0 entonces abrirá por arriba del eje de las x y su a < 0 abrirá por debajo. Si n = - l : En este caso, f(x) = a/x. El dominio de f(x) consta de todos los números reales excepto cero. Las figuras contiene las gráficas de y = 1/x y y = -1/x (es decir, las correspondientes a a +- 1). La gráfica de y = a/x cuando a > 0 tiene una forma similar a la de y = 1/x y en el caso de que a < 0 es parecida a la forma de y = -1/x. La gráfica de y = a/x se denomina una hipérbola rectangular. A medida que x se acerca a cero, el denominador de f(x) = a/x se hace muy pequeño,

 Inversa de una función cuadrática. La inversa de una función cuadrática se define como la función que, al componerse con la función original, produce la función identidad. En otras palabras, si f(x) es una función cuadrática, su inversa  f  -1 (x) es la función que cumple con las siguientes condiciones: f(f  -1 (x)) = x para todo x en el dominio de f -1 (x). f  -1 (f(x)) = x para todo x en el dominio de f. En términos más simples, la inversa de una función cuadrática deshace lo que hace la función original. Si aplicamos la función original a un valor x y luego aplicamos la inversa a la salida, obtenemos el valor original x de vuelta. Para obtener la inversa de una función cuadrática, hay que seguir estos pasos: 1. Despejar la variable x: Primero, debemos despejar la variable x de la ecuación original de la función cuadrática. Es importante recordar que una función cuadrática no siempre tiene una inversa, ya que no es inyectiva (es decir, para un mismo valor de y, puede haber dos valor

 Funciones cuadráticas. Una función cuadrática es de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c Donde a es diferente a cero. Las funciones cuadráticas también se les conoce como parábolas. Cuando a > 0 la parábola abre hacia arriba y cuando a < 0 la parábola abre hacia abajo. El vértice de una parábola es el punto más bajo cuando a > 0 o el punto más alto cuando a < 0 y se determina con las siguientes fórmulas: La parábola es simétrica con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice. Esta recta se conoce como eje de la parábola. (La línea punteada en la figura) Ejemplo: Diagrame y encuentre el vértice de la siguiente función y = 4x 2 - 5x + 6. El vértice: El vértice es (0.625, 4.4375) Ejemplo aplicado. Maximizar. La demanda mensual x de cierto artículo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación: x = 1350 - 45p  El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio p