Desigualdades lineales

Desigualdades

Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos valores no son iguales. En otras palabras, una desigualdad nos dice que hay una diferencia entre dos cantidades.

Tipos de desigualdades:

Desigualdad estricta: Esta es la forma más común de desigualdad. Se indica con el símbolo ≠. Por ejemplo, 5 ≠ 3 significa que 5 no es igual a 3.

Desigualdad no estricta: Este tipo de desigualdad indica que dos valores pueden ser iguales o diferentes. Se indica con los símbolos ≤ o ≥. Por ejemplo, 2 ≤ 5 significa que 2 es menor o igual que 5, y 5 ≥ 2 significa que 5 es mayor o igual que 2.

Ejemplos de desigualdades:

7 > 4 (7 es mayor que 4)

3 < 6 (3 es menor que 6)

5 ≠ 5 (5 no es igual a 5)

10 ≤ 10 (10 es menor o igual que 10)

12 ≥ 8 (12 es mayor o igual que 8)

Las desigualdades se utilizan en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, incluyendo:

Álgebra: Para resolver ecuaciones y desigualdades.

Geometría: Para comparar longitudes, áreas y volúmenes.

Física: Para describir el movimiento y la fuerza.

Economía: Para analizar la distribución de la riqueza.

Es importante recordar que las desigualdades no son lo mismo que las igualdades. Una igualdad indica que dos valores son exactamente iguales, mientras que una desigualdad indica que hay una diferencia entre ellos.

Desigualdad lineal de una variable.

Una desigualdad lineal de una variable es una expresión matemática que compara una variable con un valor constante, utilizando uno de los siguientes símbolos de desigualdad:

<: menor que

>: mayor que

≤: menor o igual que

≥: mayor o igual que

La variable debe estar elevada a la primera potencia (es decir, sin exponente) o no estar elevada a ninguna potencia (es decir, ser un número real).

Ejemplos de desigualdades lineales de una variable:

3x + 2 < 7

x - 5 > 1

2x ≤ 10

4x ≥ 8

Resolución de desigualdades lineales:

La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable, para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera.

Para resolver una desigualdad lineal de una variable, se pueden seguir los siguientes pasos:

• Aislar la variable: Despejar la variable en un lado de la desigualdad.
• Comparar con el valor constante: Comparar el valor de la variable con el valor constante, utilizando el símbolo de desigualdad adecuado.
• Representar la solución: Representar la solución en una recta numérica o en un intervalo.

Considere que el sentido de una desigualdad se conserva si de ambos lados se suma o resta una misma cantidad. Lo mismo aplica para la división y multiplicación, siempre y cuando, el factor sea un número real positivo.

Sea la desigualdad:                          8 > 4

Sumando 2 en ambos lados:            8 + 2 > 4 + 2               10 > 6

Restando 2 en ambos lados:            8 - 2 > 4 -2                   6 > 2

Multiplicando por 2 :                       8(2) > 4(2)                   16 > 8

Dividiendo entre 2:                          8/2 > 4/2                      4 > 2

Pero si se multiplica o divide por un número negativo, la desigualdad se invierte:

Multiplicando por -2 :                       8(-2) > 4(-2)                   -16 < -8

Dividiendo entre -2:                          8/(-2) > 4/(-2)                  -4 < -2

Ejemplos de resolución de desigualdades lineales:

3x + 2 < 7

Aislar la variable: 3x < 5

Comparar con el valor constante: x < 5/3

Representar la solución: La solución es el intervalo (-∞, 5/3).

x - 5 ≥  1

Aislar la variable: x ≥  6

Comparar con el valor constante: x ≥  6

Representar la solución: La solución es el intervalo [6, ∞).

Ejemplo.

Resuelva:                 7 > 5 - 2x ≥ 3

Solución:

Esta expresión es de la forma a > b ≥  c, para resolverlo separemos las expresiones y apliquemos la técnica vista, de esta manera, resolveremos primero a > b y luego b ≥  c.

7 > 5 - 2x

7 - 5 > - 2x

2 > -2x

2/(-2) < -2x/(-2)  dividimos ambas partes entre (-2)  por lo que la desigualdad se reinvierte de > a <

-1 < x

Luego:

5 - 2x ≥ 3

-2x ≥ 3 -5

-2x ≥ -2

-2x/(-2) ≤ -2/(-2)        dividimos ambas partes entre (-2)  por lo que la desigualdad se reinvierte de  ≥  a  ≤

x ≤ 1

Solución 

-1 < x ≤ 1 o en intervalo (-1, 1]

Resuelva         8 - 3x  ≤  2x - 7  <  x - 13

Solución:

Esta expresión es de la forma a ≤ b < c, para resolverlo separemos las expresiones y apliquemos la técnica vista, de esta manera, resolveremos primero a ≤ b y luego b < c.

8 - 3x  ≤  2x - 7

-3x - 2x ≤ - 7 - 8

-5x ≤ -15

-5x / (-5)  ≥ (-15)/(-5)   dividimos ambas partes entre (-5)  por lo que la desigualdad se reinvierte de ≤  a ≥

x ≥ 3

Luego:

2x - 7  <  x - 13

2x - x < 7 -13

x < -6

Esta desigualdad no tiene solución ya que no existe un número x que cumpla x ≥ 3 y a la vez cumpla con x < -6.

Aplicaciones de las desigualdades lineales:

Utilidades del fabricante

El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo, y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana.

Arrendamiento vs compra.

Una mujer de negocios quiere tomar la decisión entre comprar o rentar un auto. Ella puede rentar un auto por $15,000 al mes con un costo por kilómetro de $2.50. Si compra el automóvil tendrá un gasto fijo anual de $165,000 y un costo por kilómetro de $3.25. ¿A partir de cuantos kilómetros debe conducir al año para que el arrendamiento sea más económico que la compra?