Sistema de Ecuaciones

 Sistemas de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que se deben resolver al mismo tiempo para encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

En otras palabras

• Es un conjunto de relaciones matemáticas que vinculan entre sí a dos o más variables.
• Las variables se denominan incógnitas y se representan por letras como x, y, z, etc.
• Las ecuaciones se expresan como igualdades que contienen las incógnitas y valores numéricos conocidos.

Ejemplo:

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas (x e y) podría ser:

x + y = 5

x - y = 1

En este caso, la solución del sistema sería el par de valores (x, y) que hace que ambas ecuaciones sean ciertas al mismo tiempo. En este caso, la solución es x = 3 e y = 2.

Tipos de sistemas de ecuaciones

1. Sistemas lineales: Son aquellos en los que las incógnitas solo están elevadas a la primera potencia.
2. Sistemas no lineales: Son aquellos en los que las incógnitas están elevadas a potencias diferentes de uno.
3. Sistemas con dos incógnitas: Son los más comunes y se pueden resolver por varios métodos, como el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción.
4. Sistemas con más de dos incógnitas: Se pueden resolver por métodos matriciales o por métodos de eliminación.

Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

1. Se utilizan en física para describir el movimiento de objetos.
2. Se utilizan en química para calcular las concentraciones de sustancias en una mezcla.
3. Se utilizan en economía para modelar el comportamiento del mercado.
4. Se utilizan en ingeniería para resolver problemas de diseño.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Algunos de los más usados son:

1. Método de Sustitución.

Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema y luego sustituirla en la otra ecuación. De esta manera, se obtiene una ecuación con una sola incógnita que se puede resolver fácilmente.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 5

x - y = 1

Paso 1: Despejamos y en la primera ecuación:

y = 5 - x

Paso 2: Sustituimos y por 5 - x en la segunda ecuación:

x - (5 - x) = 1

Paso 3: Desarrollamos la ecuación y resolvemos para x:

2x - 5 = 1

2x = 6

x = 3

Paso 4: Sustituimos x = 3 en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de y:

3 + y = 5

y = 2

Solución: x = 3, y = 2

2. Método de Igualación

Este método consiste en igualar las dos expresiones que contienen una misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema. De esta manera, se obtiene una nueva ecuación con una sola incógnita que se puede resolver fácilmente.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + 3y = 7

x - y = 1

Paso 1: Despejamos una incógnita en ambas, en este caso y:

y = (7 - 2x) / 3

y = x - 1

Paso 2: Igualamos las expresiones:

x - 1 = (7 - 2x)/3

Paso 3: Resolvemos para x:

3(x - 1) = 7 - 2x

3x - 3 = 7 - 2x

5x = 10

x = 2

Paso 4: Sustituimos x = 2 en alguna de las ecuaciones, de preferencia usa las que has despejado:

y = x - 1

y = 2  - 1

y = 1 

Solución: x = 2, y = 1

3. Método de Reducción

Este método consiste en sumar o restar las dos ecuaciones del sistema de forma que se elimine una de las incógnitas. De esta manera, se obtiene una nueva ecuación con una sola incógnita que se puede resolver fácilmente.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2x - y = 5

3x + y = 12

Paso 1: sumemos las expresiones:

2x - y = 5

3x + y = 12

5x = 17

Paso 2: Resolvemos para x:

x = 17/5

Paso 3: Sustituimos x = 17/5 en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de y:

3(17/5) + y = 12

y = 12 - 51/5

y = 9/5

Solución: x = 17/5, y = 9/5

Elección del método

La elección del método más adecuado para resolver un sistema de ecuaciones depende de varios factores, como la complejidad de las ecuaciones, la cantidad de incógnitas y el tipo de sistema (lineal o no lineal).

En general, el método de sustitución es el más sencillo y rápido para resolver sistemas lineales con dos incógnitas. El método de igualación es útil cuando las ecuaciones tienen una forma similar. El método de reducción es especialmente útil cuando las ecuaciones tienen coeficientes que son múltiplos entre sí.

Aplicaciones a la economía y los negocios.

Los siguientes son ejemplos de aplicación de sistemas de ecuaciones en negocios y economía:

Ejercicio 1.

Un restaurante tiene un costo fijo de $500 por día y un costo variable de $10 por cada comida que sirve. El restaurante cobra $15 por cada comida. ¿Cuántas comidas debe vender el restaurante por día para alcanzar el punto de equilibrio?

Solución.

Recuerda que el punto de equilibrio es donde los ingresos son iguales a los costos.

Paso 1. Desarrolla las ecuaciones:

Sean x la cantidad de comidas producidas y vendidas e y el importe de los costos o ingresos.

La ecuación para los costos:

y = 10x + 500

La ecuación de ingresos:

y = 15x

Paso 2. Resolver el sistema de ecuaciones. El método de igualación parece ser el más adecuado por la forma en que se tienen las expresiones:

15x = 10x + 500

15x - 10x = 500

5x = 500

x = 100

Paso 3. Sustituimos x = 100 en cualquiera de las ecuaciones.

y = 15x

y = 15(100)

y = 1500

Solución, se deben vender 100 comidas para alcanzar el punto de equilibrio de $1,500.

Ejemplo 2.

Un agricultor tiene dos tipos de trigo, A y B. El trigo A tiene un contenido de proteína del 12% y el trigo B tiene un contenido de proteína del 18%. El agricultor quiere mezclar los dos tipos de trigo para obtener un producto final con un contenido de proteína del 15%. ¿Qué porcentaje de cada tipo de trigo debe usar el agricultor?

Solución.

Sea x la cantidad de trigo A e y la cantidad de trigo B.

Paso 1. Expresa las ecuaciones.

Para las proteínas:

0.12x + 0.18y = 0.15

Para el total de trigo, es decir el 100%:

x + y = 1

Paso 2. Solucionar el sistema. En este caso por sustitución, despejamos y de la ecuación del total de trigo.

y = 1 - x

Paso 3. Sustituimos en la otra ecuación y resolvemos.

0.12x + 0.18(1 - x) = 0.15

0.12x + 0.18 - 0.18x = 0.15

-0.06x = 0.15 - 0.18

-0.06x = -0.03

x = -0.03/-0.06 = 0.5

Paso 4. Sustituimos el valor x = 0.5 en la ecuación despejada para determinar y.

y = 1 - x

y = 1 - 0.5

y = 0.5

Es decir se requiere de 50% de cada tipo de trigo para alcanzar el 15% de proteína.

Ejercicio 1.

Un inversionista tiene $10,000 para invertir en dos acciones, A y B. La acción A tiene un rendimiento anual del 14% y la acción B tiene un rendimiento anual del 11%. El inversionista quiere obtener un rendimiento anual del 12%. ¿Cuánto dinero debe invertir el inversionista en cada acción?

Ejercicio 2.

En una tienda se venden tres tipos de productos: A, B y C. El producto A tiene un precio de $2, el producto B tiene un precio de $3 y el producto C tiene un precio de $5. Un cliente compra 10 productos en total, pagando un total de $34. Además, se sabe que el número de productos B es el doble que el número de productos A. ¿Cuántos productos de cada tipo compró el cliente?