Funciones cuadráticas - inversa
Inversa de una función cuadrática.
La inversa de una función cuadrática se define como la función que, al componerse con la función original, produce la función identidad. En otras palabras, si f(x) es una función cuadrática, su inversa f -1(x) es la función que cumple con las siguientes condiciones:
f(f -1(x)) = x para todo x en el dominio de f-1(x).
f -1(f(x)) = x para todo x en el dominio de f.
En términos más simples, la inversa de una función cuadrática deshace lo que hace la función original. Si aplicamos la función original a un valor x y luego aplicamos la inversa a la salida, obtenemos el valor original x de vuelta.
Para obtener la inversa de una función cuadrática, hay que seguir estos pasos:
1. Despejar la variable x:
Primero, debemos despejar la variable x de la ecuación original de la función cuadrática. Es importante recordar que una función cuadrática no siempre tiene una inversa, ya que no es inyectiva (es decir, para un mismo valor de y, puede haber dos valores diferentes de x). Para que una función cuadrática tenga una inversa, debemos restringir su dominio a un intervalo donde sea monótona (creciente o decreciente).
2. Intercambiar las variables x e y:
Luego, intercambiamos las variables x e y en la ecuación despejada. De esta forma, la variable y se convierte en la variable independiente (dominio) y la variable x se convierte en la variable dependiente (imagen).
3. Renombrar la función:
Finalmente, renombramos la función con un nuevo nombre, como por ejemplo f -1(x), para indicar que es la inversa de la función original.
Ejemplo:
Consideremos la función cuadrática f(x) = x2 - 4x + 3. Para obtener su inversa, seguimos los siguientes pasos:
1. Despejar la variable x:
x2 - 4x + 3 = y
x2 - 4x = y - 3
x2 - 4x + 4 = y - 3 + 4
(x - 2)2 = y + 1
x - 2 = ±√(y + 1)
x = 2 ±√(y + 1)
2. Intercambiar las variables x e y:
y = 2 ±√(x + 1)
3. Renombrar la función:
f -1(x) = 2 ±√(x + 1)
Restricción del dominio:
En este caso, la función f -1(x) tiene dos ramas, una para el signo positivo y otra para el signo negativo. Para que la función sea invertible, debemos elegir una de las dos ramas y restringir el dominio en consecuencia. Por ejemplo, podemos elegir la rama con el signo positivo y restringir el dominio a x ≥ -1.
Ejercicio de aplicación.
Una empresa de comercio electrónico vende un producto por $10. El equipo de marketing quiere saber qué precio maximizará los ingresos. Se sabe que cuando vende el producto a $10 la demanda es de 180 y estiman que la demanda sería 200 si el producto se regalara.
Función de demanda: La empresa ha determinado que la demanda del producto se ajusta a una función lineal :
d = a + mp
donde:
d es la demanda,
p el precio,
m la pendiente,
a, es la cantidad demandada si el producto valiera cero.
Otras aplicaciones
Análisis de costes: Las funciones inversas se pueden utilizar para determinar el coste de producción de una cantidad específica de un producto.
Gestión de inventario: Las funciones inversas se pueden utilizar para determinar la cantidad de inventario que se debe mantener para satisfacer una demanda determinada.
Análisis del punto de equilibrio: Las funciones inversas se pueden utilizar para determinar el precio al que la empresa no gana ni pierde dinero.
Beneficios de usar funciones inversas en los negocios.
Mejor toma de decisiones: Las funciones inversas permiten a las empresas tomar decisiones más informadas sobre precios, producción, inventario y otras áreas clave.
Mayor eficiencia: Las funciones inversas pueden ayudar a las empresas a optimizar sus operaciones y aumentar la eficiencia.
Mayores beneficios: Las funciones inversas pueden ayudar a las empresas a aumentar sus beneficios al tomar mejores decisiones y optimizar sus operaciones.
Nota:
Es importante recordar que la inversa de una función cuadrática no siempre es una función cuadrática. En algunos casos, la inversa puede ser una función lineal, una función exponencial o una función de otro tipo.
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