Función exponencial

Funciones exponenciales y logarítmicas.



Función exponencial.

En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma f(x) = bx, donde: b es una constante positiva distinta de 1, llamada base de la función exponencial.

x es la variable independiente.

En otras palabras, la función exponencial toma un número real x como entrada y eleva la base b ese exponente.

Ejemplos:

f(x) = 2x es una función exponencial con base 2.

f(x) = ex es una función exponencial con base e (la constante matemática aproximadamente igual a 2.71828). Está función se le conoce como función exponencial natural.

f(x) = 10x es una función exponencial con base 10.

Propiedades:

Las funciones exponenciales tienen varias propiedades importantes:

Crecimiento: Las funciones exponenciales crecen a un ritmo cada vez mayor a medida que aumenta el valor de x.

Continuidad: Las funciones exponenciales son continuas en todo el dominio real.

Derivada: La derivada de la función exponencial f(x) = bx es ln(b) * bx.

Dominio: El dominio de cualquier función exponencial es (-∞, ∞)

Propiedades cuando la base a es positiva (b > 0 y b <> 1):

Rango: El rango de la función es (0, ∞)

Intersección: La curva intercepta al eje de las y en (0,1). Nunca intercepta el eje de las x.

Forma de la gráfica: 

  • Si 0 < b < 1. La gráfica desciende de izquierda a derecha y se acerca más al eje de las x conforme x se vuelve más positivo.
  • Si b > 1 La gráfica asciende de izquierda a derecha y se acerca más al eje de las x conforme x se vuelve más negativa.

La ecuación exponencial natural tiene una gráfica parecida a la siguiente:

Note que cuando x = 0, la curva corta al eje y en y = 1.

Funciones logarítmicas.

La función inversa a una función exponencial f(x) = ax es la función logarítmica. 

x = Loga(y) sí solo sí y = ax 

Loga(y) se lee: logaritmo base a de y. 

La función ax sólo está definida cuando a > 0. Además, cuando a = 1, entonces 1x = 1 para toda x, y esta función no puede tener una inversa. Por tanto, en estas definiciones a puede ser cualquier número positivo excepto 1. Desde ahora se sobreentiende que la base a siempre satisface las condiciones a > 0, a <> 1.

Al igual que con cualquier función inversa, la gráfica de la función logaritmo, Loga(y), en comparación con la función exponencial y = ax se muestra a continuación.

Aplicaciones

Las funciones exponenciales se utilizan en una amplia variedad de campos, incluyendo:

Matemáticas: Las funciones exponenciales se utilizan en cálculo, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales y otras áreas de las matemáticas.

Ciencia: Las funciones exponenciales se utilizan en física, química, biología, economía y otras áreas de la ciencia.

Ingeniería: Las funciones exponenciales se utilizan en ingeniería eléctrica, ingeniería mecánica, ingeniería civil y otras áreas de la ingeniería.

Economía y finanzas. En inversiones donde el interés ganado es compuesto.

En resumen.

Las funciones exponenciales son una clase importante de funciones matemáticas que se caracterizan por su rápido crecimiento. Se utilizan en una amplia variedad de campos, incluyendo matemáticas, ciencia e ingeniería.

Las funciones logarítmicas son la inversa de las funciones exponenciales.

Ejercicios.

Interés compuesto.

La fórmula de interés compuesto está dada por

M = C(1 + (i/p))np

Donde:

M es el monto o valor futuro.
C es el capital o valor presente.
i es la tasa de interés nominal anual.
n es el número de años.
p es la frecuencia (número de veces) de conversión de los intereses en un año.

Ejercicio 1.

Si $2000 se invierten a un interés compuesto anual del 6%, encuentre lo siguiente.
  1. El valor de la inversión después de 4 años.
  2. El valor de la inversión después de 12 años.

Ejercicio 2.

Si $100 se invierten a un interés compuesto anual del 8% calcule lo siguiente.

  1. El valor de la inversión después de 5 años.
  2. El valor de la inversión después de 10 años.

Ejercicio 3.

El señor Pérez requiere reunir $35,000, para ello invierte $18,000 en una cuenta que le paga 11.5% anual. ¿Cuantos años debe esperar el señor Pérez para acumular el monto deseado?

Ejercicio 4.

Cuanto tiempo tardaría en duplicarse una inversión en una cuenta que paga un interés compuesto de 12% anual.


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