Conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos que comparten una o más características en común. Los objetos que forman parte de un conjunto se llaman elementos.

Tipos de conjuntos:

• Conjunto finito: Un conjunto con un número finito de elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números pares del 1 al 10.
• Conjunto infinito: Un conjunto con un número infinito de elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales. Conjunto de números reales entre 1 y 2.
• Conjunto vacío: Un conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por {}.
• Conjunto unitario: Un conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos de conjuntos:

• Conjunto de los colores primarios: {rojo, amarillo, azul}
• Conjunto de los planetas del sistema solar: {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}
• Conjunto de los números pares: {2, 4, 6, 8, 10, ...}
• Conjunto de los números impares: {1, 3, 5, 7, 9, ...}

Los conjuntos se pueden representar de diferentes maneras:

• Por extensión: Listando todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, {1, 2, 3}.
• Por comprensión: Describiendo la propiedad que comparten los elementos del conjunto. Por ejemplo, {x | x es un número natural menor que 5}.

Ejemplo:

P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} = {x | x es un número entero, -2 ≤  x ≤  3}

Ejemplo:

A = {1, 4, 7, . . . , 37}

A = {x | x = 3k + 1, k es un entero, 0 ≤ k ≤ 12}

Conjunto vacío.

Un conjunto vacío se simboliza con el símbolo Ø. Este símbolo se deriva de la letra Ø del alfabeto danés y noruego. A un conjunto vacío también se le puede nombrar como conjunto nulo.

Ejemplos:

El conjunto de los números primos entre 24 y 28: Ø

El conjunto de los animales que pueden volar y hablar: Ø

Es importante recordar que:

Un conjunto vacío no tiene ningún elemento.

El símbolo Ø no se debe confundir con el número 0.

El conjunto vacío se puede representar también por {}.

Subconjuntos.

Un subconjunto es un conjunto que está contenido en otro conjunto. En otras palabras, todos los elementos de un subconjunto también son elementos del conjunto que lo contiene.

Tipos de subconjuntos:

• Subconjunto propio: Un subconjunto propio es un subconjunto que no es igual al conjunto que lo contiene. Por ejemplo, el conjunto {1, 2} es un subconjunto propio del conjunto {1, 2, 3}.
• Subconjunto impropio: Un subconjunto impropio es un subconjunto que es igual al conjunto que lo contiene. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} es un subconjunto impropio del conjunto {1, 2, 3}.

Notación:

Para indicar que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, se utiliza el símbolo ⊂. Por ejemplo, A ⊂ B significa que A es un subconjunto de B. Si A y B son conjuntos iguales entonces se denota A ⊆ B ó B ⊆ A, o también A = B.

Sean a y b dos números reales tales que a < b. Entonces el intervalo abierto de a a b, denotado por (a, b), es el conjunto de todos los números reales x situados entre a y b. Así,

(a, b) = {x | x es un número real y a < x < b}

De manera similar, el intervalo cerrado entre a y b, denotado por [a, b] es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b pero que también incluye a éstos. Por tanto,

[a, b] = {x | x es un número real y a ≤ x ≤ b}

Intervalos semicerrados o semiabiertos se definen de la siguiente manera:

(a, b] = {x | a < x ≤ b}

[a, b) = {x | a ≤ x < b}

Ejemplos de subconjuntos:

• El conjunto de los números pares es un subconjunto del conjunto de los números naturales.
• El conjunto de las vocales es un subconjunto del conjunto de las letras del alfabeto español.
• El conjunto {1, 2, 3} es un subconjunto del conjunto {1, 2, 3, 4}.  
• Si N es el conjunto de todos los números naturales, I es el conjunto de todos los enteros, Q es el conjunto de todos los números racionales y R es el conjunto de todos los números reales, entonces 
  N ⊂ I ⊂ Q ⊂ R  

 Todo conjunto es un subconjunto de sí mismo; es decir:

A ⊆ A para cualquier conjunto A

Las operaciones con conjuntos:

• Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. Se representa por A ∪ B.
• Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a A y a B. Se representa por A ∩ B.
• Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a A pero no a B. Se representa por A - B.