Matrices suma y resta de ...

 Matrices

Una matriz es una disposición rectangular de números, variables o expresiones matemáticas. Se representa entre paréntesis y sus elementos se disponen por filas y columnas.

El tamaño de una matriz representa la cantidad de filas y columnas, así una matriz de 3 x 2, es una matriz de 3 filas y dos columnas.

Ejemplo:

En la imagen se ve la matriz A de tamaño de 3 x 3 y la matriz B tiene un tamaño de 2 x 3. Cada elemento de la matriz a_ij y b_ij se puede hacer referencia según su posición donde i representa la fila y j a la columna.

Las matrices se pueden clasificar según su tamaño, número de filas y columnas, o tipo de elementos. Algunos tipos comunes de matrices son:

Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas y columnas. Como la matriz A.

Matriz rectangular: tiene un número diferente de filas y columnas. Como la matriz B.

Matriz diagonal: tiene elementos no nulos solo en la diagonal principal.

Matriz triangular: tiene elementos nulos por encima o por debajo de la diagonal principal.

Igualdad de matrices.

Dos matrices son iguales si todos sus elementos son iguales entre si, es decir, A = B si para cada elemento a_ij en A y para cada elemento b_ij en B, se cumple que: a_ij =  b_ij

Matriz transpuesta.

La transpuesta de una matriz es una nueva matriz que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de la matriz original. En otras palabras, si la matriz original tiene m filas y n columnas, la matriz traspuesta tendrá n filas y m columnas.

Ejemplo:

Para la transpuesta tomaremos cada elemento así el elemento c_ij se convertirá en el elemento c_ji, es decir, c₁₁ = c_11,     c₁₂ = c_21,     c₁₃ = c_31,     c₂₁ = c_12,     c₂₂ = c_22,     c₂₃ = c_32. Entonces la transpuesta de la matriz C ( C^T ) es:

Matriz simétrica.

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. En otras palabras, si intercambiamos las filas por las columnas de la matriz, obtenemos la misma matriz original.

En este ejemplo A = A^T . 

Suma y resta de matrices

Para sumar o restar dos matrices, deben tener las mismas dimensiones (mismo número de filas y columnas). La operación se realiza sumando o restando los elementos que ocupan la misma posición en ambas matrices.

La suma de o resta de dos matrices da lugar a una nueva matriz, es decir, sea A y B dos matrices de tamaño m por n, y C la matriz resultado de la suma, entonces se tiene que:

a_{11 + b11} = c₁₁

a_{12 + b12} = c₁₂

a_{... + b...} = c_...

a_{mn + bmn} = c_mn

_Ejemplo

Dadas las matrices:

La suma de ellas C = A + B será:

La resta C = A - B es:

Multiplicar una matriz por un escalar.

La multiplicación de una matriz por un escalar es una operación matemática que combina una matriz con un número real o complejo, llamado escalar. El resultado de esta operación es otra matriz del mismo tamaño que la original, pero con cada uno de sus elementos multiplicado por el escalar.

En términos más formales, si tenemos una matriz A de tamaño m x n y un escalar k, la multiplicación de A por k se define como la matriz B de tamaño m x n tal que:

B[i, j] = k * A[i, j]

para todo i entre 1 y m y todo j entre 1 y n.

En otras palabras, para multiplicar una matriz por un escalar, simplemente multiplicamos cada elemento de la matriz por el escalar.

Ejemplo:

Sea la matriz A, la misma que se uso para los ejemplos de suma y resta:

Referencia bibliográfica.

[1] Arya, J. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía: ( ed.). Pearson Educación.