Inversa de una matriz

Inversa de una matriz.

En matemáticas, una matriz inversa es una matriz cuadrada que, al multiplicarse por la matriz original, produce la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto son 0.


En otras palabras, si A es una matriz cuadrada invertible, entonces su matriz inversa se denota por A-1 y cumple la siguiente propiedad:

A-1  A = I = A  A-1

Donde I es la matriz identidad.

No todas las matrices son invertibles.

Ejemplo:

Determine la matriz inversa, si tiene, de la matriz A.


Si la matriz A tiene inversa, entonces:

Es decir:

(1)   3a + 5c = 1
(2)   a + 6c = 0 
(3)   3b + 5d = 0
(4)   b + 6d = 1

Despejando a de (2)
a = -6c

Reemplazando en (1)
3(-6c) + 5c = 1
-18c + 5c = 1
-13c = 1
c = -1/13

Reemplazando en el despeje de a
a = -6c
a =-6(-1/13)
a = 6/13

Despejando b de (4)
b = 1 - 6d

Reemplazando en (3)
3(1-6d) + 5d = 0
3 -18d + 5d = 0
-13d = -3
d = 3/13

Reemplazando en el despeje de b
b = 1 -6(3/13)
b = 1 - 18/13
b = -5/13

La matriz inversa es:


Comprobemos:

 A  A-1 = I, pero también debe cumplirse,  A-1A  = I



De esta manera tenemos que A-1 es la matriz inversa de A.

Bibliografía.

Arya, J. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía: ( ed.). Pearson Educación. 



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